SOBRE FACTOREO CON GAUSS
¿Qué dice el Teorema de Gauss?
Que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar entre los divisores de su término independiente y de su coeficiente principal (¿qué es el coeficiente principal?) (¿qué fracciones?). En este Caso de Factoreo necesitamos esas "raíces" del polinomio (¿para qué?), y ahí cobra importancia esto que dice Gauss. Usamos lo que dice "Gauss" para buscar esas raíces
(¿qué son las raíces de un polinomio?) que nos ayudarán a factorizar el polinomio. No nos hace falta saber o entender lo que son las raíces de un polinomio para poder factorizarlo, podemos pensar que son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro de la forma (x - raíz). Por ejemplo, si una posible raíz del polinomio es 2, vamos a dividir al polinomio por (x - 2). De todas maneras, explicaré también lo que son las raíces (Ver aquí).
¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo se buscan las raíces del polinomio según Gauss?
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los divisores del término independiente del polinomio (¿qué es término independiente?) y del coeficiente principal (¿pero no era más fácil?). Por ejemplo, en el polinomio: 2x3 -3x2 - 11x + 6, el término independiente es 6, y el coeficiente principal es 2. Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores de 2
(¿qué son los "divisores"?).
Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. (En general los denomino con la letra "k")
Divisores de 2: 1, -1, 2, -2. (En general los denomino con la letra "a")
Entonces, se pueden "buscar" raíces del polinomio, en todas las fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la "k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador). Es decir: un divisor de 6 arriba, y un divisor de 2 abajo. O un divisor del término independiente arriba, y un divisor del coeficiente principal abajo. Así:
Posibles raíces:
Esto puede dar un montón de combinaciones, que las voy a mostrar a todas en este ejemplo. Pero muchos resultados se repiten, así que no son tantos. Además, no hace falta que primero formemos todas las fracciones posibles... Podemos probar de a una, la que se nos ocurra.
Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores del término independiente (¿y por qué puedo hacer eso?). Lo más probable es que encontremos una o más raíces en esos divisores, y con eso nos alcance para factorizar todo el polinomio, y ya no tengamos que andar pensando en ninguna fracción. Eso es lo que pasa en casi todos los ejercicios. Yo tengo que explicar la teoría completa, pero la teoría es más complicada de lo que en la práctica se hace: en el 99% de los ejercicios no necesitaremos acordarnos del coeficiente principal, ni fracciones ni nada. Simplemente trabajamos con los divisores del término independiente. Y también es muy probable encontrar raíces entre los números más pequeños: 1, -1, 2, -2. Entonces, conviene empezar por ellos y pronto encontraremos la o las raíces necesarias en pocos pasos.
Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente? Si la teoría dice otra cosa... ¿Por qué puedo obviar al coeficiente principal?:
Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el 1 es divisor de cualquier número. Y una fracción que tenga un 1 abajo, es igual al número "que está arriba". A ver, para que se entienda en nuestro ejemplo:
"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
"a" puede ser: 1, -1, 2, -2
Ahora voy a armar las fracciones con "a" = 1. Pero si a =1, es igual a "k": Sin la "a", sin fracción, sin tener en cuenta al coeficiente principal a.
1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/1 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
Y así... Todas las "k" pueden ser tomadas como raíces, porque se las puede obtener de la fórmula considerando que "a" es igual a 1. Así, todos los divisores del término independiente pueden ser raíces del polinomio, y no hace falta pensar en los divisores del coeficiente principal a menos que no se encuentre raíces entre los primeros.
¿Cuándo desisto de usar este Caso?
Y, si no encuentro ninguna raíz (o ninguna división dá con resto cero), no podré factorizar. Luego de analizar todas las posibles raíces y comprobar que ninguna lo es en realidad, desisto de usar este Caso. Recordemos que hay dos formas de saber si un número es raíz o no del polinomio:
1) Dividir por (x - supuesta raíz), y el Resto debe dar cero para que la supuesta raíz lo sea en realidad (Ver aquí).
2) Reemplazar la letra del polinomio por la supuesta raíz, y el Valor Numérico tiene que dar 0 (Ver aquí).
¿Qué son las raíces de un polinomio? ¿A ver algunos ejemplos?
Como ya dije antes, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero. Se le llama raíces a esos números que "hacen que un polinomio dé 0". Es decir, aquellos números que, reemplazados en la letra del polinomio (x es la que estamos usando), hacen que el Valor numérico del polinomio sea cero. Por ejemplo en:
x2 + 3x + 2 =
Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:
(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 El Valor que toma el polinomio es "cero".
Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio. En cambio, si reemplazo la x por el número 3, tenemos que:
32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2 = 20 El Valor Númerico del polinomio es desigual a "cero".
Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.
A este tipo de pruebas se le llama "hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número". Y en general a los polinomios se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en esa x que está en el paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
¿Para qué necesito en este Caso las raíces del polinomio?
Porque para factorizar con este Caso debemos dividir al polinomio por (x - alguna raíz), como ya vimos en la explicación de los ejemplos. Para poder hacer esa división o divisiones es que buscamos raíces, ya que un polinomio puede factorizarse así:
a.(x - x1).(x - x2).(x -x3)..... etc.
Donde x1, x2, etc. son raíces del polinomio, y "a" el coeficiente principal, aunque este último detalle no hace falta tenerlo en cuenta en este Caso.
Y viendo el polinomio factorizado de esa manera, nos podemos dar cuenta de las raíces son los números que "hacen que el polinomio dé 0", como dije cuando expliqué lo que son las raíces. Veamos en un ejemplo:
3.(x - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
En ese polinomio, las raíces son: 1, -4, 2, 3 y -5. Porque, ¿qué pasa si reemplazo en el polinomio por alguno de ellos, por ejemplo 1? El binomio (x - 1) va a valer cero (1 - 1 = 0). Y entonces queda todo el polinomio multiplicado por cero, lo cual por supuesto dá cero. Así:
3.(1 - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5) =
3.0.(x + 4).(x -2).(x - 3).(x + 5) = 0
Lo mismo va a suceder si reemplazo la x por otra cualquiera de las raíces, por ejemplo: -4
3.(x - 1).(-4 + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
3.(x - 1).0.(x - 2).(x - 3).(x + 5) = 0
¿Existe otra forma mas rápida para encontrar las raices?
Que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar entre los divisores de su término independiente y de su coeficiente principal (¿qué es el coeficiente principal?) (¿qué fracciones?). En este Caso de Factoreo necesitamos esas "raíces" del polinomio (¿para qué?), y ahí cobra importancia esto que dice Gauss. Usamos lo que dice "Gauss" para buscar esas raíces
(¿qué son las raíces de un polinomio?) que nos ayudarán a factorizar el polinomio. No nos hace falta saber o entender lo que son las raíces de un polinomio para poder factorizarlo, podemos pensar que son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro de la forma (x - raíz). Por ejemplo, si una posible raíz del polinomio es 2, vamos a dividir al polinomio por (x - 2). De todas maneras, explicaré también lo que son las raíces (Ver aquí).
¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo se buscan las raíces del polinomio según Gauss?
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los divisores del término independiente del polinomio (¿qué es término independiente?) y del coeficiente principal (¿pero no era más fácil?). Por ejemplo, en el polinomio: 2x3 -3x2 - 11x + 6, el término independiente es 6, y el coeficiente principal es 2. Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores de 2
(¿qué son los "divisores"?).
Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. (En general los denomino con la letra "k")
Divisores de 2: 1, -1, 2, -2. (En general los denomino con la letra "a")
Entonces, se pueden "buscar" raíces del polinomio, en todas las fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la "k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador). Es decir: un divisor de 6 arriba, y un divisor de 2 abajo. O un divisor del término independiente arriba, y un divisor del coeficiente principal abajo. Así:
Posibles raíces:
Esto puede dar un montón de combinaciones, que las voy a mostrar a todas en este ejemplo. Pero muchos resultados se repiten, así que no son tantos. Además, no hace falta que primero formemos todas las fracciones posibles... Podemos probar de a una, la que se nos ocurra.
Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores del término independiente (¿y por qué puedo hacer eso?). Lo más probable es que encontremos una o más raíces en esos divisores, y con eso nos alcance para factorizar todo el polinomio, y ya no tengamos que andar pensando en ninguna fracción. Eso es lo que pasa en casi todos los ejercicios. Yo tengo que explicar la teoría completa, pero la teoría es más complicada de lo que en la práctica se hace: en el 99% de los ejercicios no necesitaremos acordarnos del coeficiente principal, ni fracciones ni nada. Simplemente trabajamos con los divisores del término independiente. Y también es muy probable encontrar raíces entre los números más pequeños: 1, -1, 2, -2. Entonces, conviene empezar por ellos y pronto encontraremos la o las raíces necesarias en pocos pasos.
Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente? Si la teoría dice otra cosa... ¿Por qué puedo obviar al coeficiente principal?:
Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el 1 es divisor de cualquier número. Y una fracción que tenga un 1 abajo, es igual al número "que está arriba". A ver, para que se entienda en nuestro ejemplo:
"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
"a" puede ser: 1, -1, 2, -2
Ahora voy a armar las fracciones
con "a" = 1. Pero si a =1, es igual a "k": Sin la "a", sin fracción, sin tener en cuenta al coeficiente principal a.1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/1 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
Y así... Todas las "k" pueden ser tomadas como raíces, porque se las puede obtener de la fórmula
considerando que "a" es igual a 1. Así, todos los divisores del término independiente pueden ser raíces del polinomio, y no hace falta pensar en los divisores del coeficiente principal a menos que no se encuentre raíces entre los primeros.¿Cuándo desisto de usar este Caso?
Y, si no encuentro ninguna raíz (o ninguna división dá con resto cero), no podré factorizar. Luego de analizar todas las posibles raíces y comprobar que ninguna lo es en realidad, desisto de usar este Caso. Recordemos que hay dos formas de saber si un número es raíz o no del polinomio:
1) Dividir por (x - supuesta raíz), y el Resto debe dar cero para que la supuesta raíz lo sea en realidad (Ver aquí).
2) Reemplazar la letra del polinomio por la supuesta raíz, y el Valor Numérico tiene que dar 0 (Ver aquí).
¿Qué son las raíces de un polinomio? ¿A ver algunos ejemplos?
Como ya dije antes, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero. Se le llama raíces a esos números que "hacen que un polinomio dé 0". Es decir, aquellos números que, reemplazados en la letra del polinomio (x es la que estamos usando), hacen que el Valor numérico del polinomio sea cero. Por ejemplo en:
x2 + 3x + 2 =
Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:
(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 El Valor que toma el polinomio es "cero".
Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio. En cambio, si reemplazo la x por el número 3, tenemos que:
32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2 = 20 El Valor Númerico del polinomio es desigual a "cero".
Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.
A este tipo de pruebas se le llama "hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número". Y en general a los polinomios se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en esa x que está en el paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
¿Para qué necesito en este Caso las raíces del polinomio?
Porque para factorizar con este Caso debemos dividir al polinomio por (x - alguna raíz), como ya vimos en la explicación de los ejemplos. Para poder hacer esa división o divisiones es que buscamos raíces, ya que un polinomio puede factorizarse así:
a.(x - x1).(x - x2).(x -x3)..... etc.
Donde x1, x2, etc. son raíces del polinomio, y "a" el coeficiente principal, aunque este último detalle no hace falta tenerlo en cuenta en este Caso.
Y viendo el polinomio factorizado de esa manera, nos podemos dar cuenta de las raíces son los números que "hacen que el polinomio dé 0", como dije cuando expliqué lo que son las raíces. Veamos en un ejemplo:
3.(x - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
En ese polinomio, las raíces son: 1, -4, 2, 3 y -5. Porque, ¿qué pasa si reemplazo en el polinomio por alguno de ellos, por ejemplo 1? El binomio (x - 1) va a valer cero (1 - 1 = 0). Y entonces queda todo el polinomio multiplicado por cero, lo cual por supuesto dá cero. Así:
3.(1 - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5) =
3.0.(x + 4).(x -2).(x - 3).(x + 5) = 0
Lo mismo va a suceder si reemplazo la x por otra cualquiera de las raíces, por ejemplo: -4
3.(x - 1).(-4 + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
3.(x - 1).0.(x - 2).(x - 3).(x + 5) = 0
¿Existe otra forma mas rápida para encontrar las raices?
Si. Podemos usar directamente el teorema del resto luego de determinar los divisores del término independiente, y del coeficiente principal.
Entonces podemos escribir a P(x) como:
Veamos algunos videos para entender un poco mas:
RECREO .... RECREO....... RECREOOOOO........................¡¡¡¡
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